Артист родился в 1930 году в Геленджике, но детство провёл в Москве. Дело в том, что его отец, будучи медицинским работником, часто получал назначения в качестве главного врача в санатории на побережье Чёрного моря.


В шестом классе Олег начал заниматься в школьном драматическом кружке. Преподаватели сразу отметили вокальные данные Анофриева, которыми он будет отличаться и на учёбе в театральной школе.

Во время Великой Отечественной войны 11-летний Олег с матерью и старшими братьями был эвакуирован в Екатеринбург, в те годы называвшийся Свердловском.

В 1950 году, после окончания школы, Олег Анофриев поступил в Школу-студию МХАТ, его наставниками стали руководители курса Сергей Капитонович Блинников и Георгий Авдеевич Герасимов.

Анофриеву было 25 лет, когда к нему пришла популярность после выхода короткометражной комедии «Секрет красоты», где он исполнил свою первую роль – стиляги Эдика.

Дебютировав на экране, он тотчас стал востребованным, последовали фильмы с его участием – «За витриной универмага», «В добрый час» и многие другие, а в комедии «Девушка с гитарой» Олег Анофриев впервые спел в кино.


В начале 60-х годов он блистал и на театральной сцене, одна из его ярких ролей – Василий Тёркин в одноимённом спектакле на стихи Твардовского в «Театре имени Моссовета».

В 1969 году страна увидела мультфильм «Бременские музыканты», в котором партии всех персонажей, за исключением принцессы, исполняет один Анофриев. За эту работу он был удостоен звания Заслуженного артиста РСФСР.

Фильм «Земля Санникова», вышедший на советские экраны в 1973 году, сделал Анофриева настоящей звездой. Причём в ленте он не снимался, а только пел. Советский хит со словами «есть только миг между прошлым и будущим, именно он называется жизнь», исполненный артистом, знает вся страна.


С начала 90-х годов Олег Анофриев редко появляется в кино. В 1992-м он поставил фильм «Быть влюбленным», главные роли в нём исполнили Галина Польских, Светлана Немоляева и Александр Лазарев. Кроме этого, Анофриев выступил в качестве композитора в своём режиссёрском дебюте.

В 1999 году вышла последняя картина с участием Анофриева «Опять надо жить», поставленная режиссёром Василием Паниным.